Valuación de los Futuros de Indices Accionarios
El valor teórico de un futuro de un índice accionario, semejante al valor de aquellos otros futuros sobre activos financieros, es un concepto intimamente ligado al concepto del “valor deldinero en el tiempo”, en otras palabras, no valen lo mismo un activo comprado hoy, que un activo que será pagado en el futuro. La diferencia entre ambos valores estará determinada por el “costo del dinero en el tiempo” lo que en ingles seconoce como “cost of carry” y que se ha traducido como “costo de acarreo”.
El costo de acarreo aplicado a un activo financiero (acciones, índices accionarios, bono, divisas, etc.) puede entenderse como la erogación que realizará en el futuro un agente que hoy compra un activo mediante financiamienot.Esto dicho de otro modo, podría entenderse como “cuanto cuesta pedir prestado hoy para comprar un activo”. De este modo el costo de acarreo no es otra cosa que el costo del financiamiento para la compra de un activo.
Si quiero comprar un activo financiero hoy que tiene un valor de $100 pesos y puedo financiar su compra al 3.00% anual, dentro de un año el costo de acarreo del activoserá de $3.00 pesos y por lo tanto es necesario que pueda vender este activo en un valor superior a $103.00 a fin de no tener pérdida en la operación.
Considere ahora el caso de que el activo financiero que se adquiere, como sucede con la mayoría de estos activos, no solo tiene un precio inicial y un precio final, sino que además puede “pagar” a su tenedor algún flujo de efectivo durante el período de tenencia. Estasituación sucede con bonos (pagan intereses), acciones que pagan dividendos, canastas de acciones y trackers entre otros.
Regresando al ejemplo de la compra de un activo en $100 que cuasta 3.00% anual, su costo es de $3.00 al año y su valor futuro de $103.00, pero, siempre y cuando no pague ningún flujo posterior. Si este activo, supongamos que es una acción, paga un dividendo dentro de 6 meses, equivalente a $1.00 pesos por cada $100 invertidos, entonces el costo de acarreo no será de $3.00 sino de $3.00 disminuido por el valor del dividendo.
Considerando esta explicación y llevandola al caso general de un indice accionario, entendiendo este como “una canasta de acciones”, el costo de acarreo será entonces, el valor del financiamiento para comprar el activo menos el flujo de efectivo que produce este activo.
De este modo y para terminar esta explicación, el costo del financiamiento de acciones se deberá entender considerando dos elementos (i) el costo del dinero o costo del financiamiento yk (ii) el flujo de efectivo que paga o genera el activo (que para acciones e indices se refiere a los dividendos que paga el activo durante el periodo de tenencia y de financiamiento.
Entendiendo el concepto de costo de acarreo menos flujos a recibir, podemos elaborar un modelo de valuación de cualquier futuro y en este caso concreto, el modelo de valuación del futuro de un índice accionario a partir del principio de “no arbitraje”
El principio de “no arbitraje” se refiere a la situación de equilibrio que debeexistir y existe en los mercados financieros por el cual los precios de los activos están en “equilibrio”. Cuando existe una situación de arbitraje, se entiende que un agente económico puede comprar un activo cualquiera en un momento determinado y de forma simultánea venderlo a un precio mayor al que compró generando una utilidad inmediata y libre de riesgo.
En el caso de los futuros sobre índices y sobre acciones, considere que el arbitraje perfecto sería comprar un activo hoy a un precio y venderlo en el futuro a un precio mayor que el de hoy incluyendo el costo financiero incurrido en la compra del activo.
En otras palabras, un arbitraje instantaneo sería compra hoy un activo en $100.00 financiarlo al 3.00% durante un año y vender desde hoy el futuro para entrega dentro de un año en $105.00 Haciendo esta operación el comprador del activo podría tener una utilidad inmediata de $2.00 calculada como la diferencia entre el precio de venta a futuro menos el costo hoy incluyendo el acarreo ($105.00-$103.00).
En el caso deun índice accionario construido con una canasta de acciones que pagan dividendos, el principio de “no arbitraje” se refiere precisamente a que no exista la utilidad inmediata señalada en el ejemplo del párrafo anterior.
Considerare la relación de las siguientes variables para mantener el “principio de no arbitraje”: el precio hoy del índice o canasta (Po) el Precio del Futuro del índice o canasta (Pf) el costo financiero al plazo de tenencia (Rt) y el Dividendo que paguen las acciones de la canasta (Dc).
Bajo el principio de “no arbitraje”, el flujo final de comprar el activo, financiarlo, recibir dividendos y venderlo en el futuro deberá ser igual a cero (no hay utilidad extraordinaria), es decir:
Pf -Po(1+Rt)+Dc(1+Rt)-t=0
Arreglando los términos en función del Precio del Futuro tenemos:
(1) Pf =Po(1+Rt)+Dc(1+Rt)-t
(1)Comentario adicional:
El valor del los dividendos pagados por las acciones de la canasta es aplicado a su valor presente y por eso el término del dividendo se expresa como: Dc(1+Rt)-t